Calcul de la dérivée d'un produit - Exemple 2

`` Calculons les dérivées des fonctions suivantes : 

• `` Soit  `f`  la fonction définie sur  `[0;+\infty[` par  `f(x)=x^4\sqrt(x)` .
  
• Soit  `g`  la fonction définie sur  `]0;+\infty[` par  `g(x)=4/x\sqrt(x)` .
  

Ces fonctions sont dérivables sur   `]0;+\infty[`  comme produit de fonctions dérivables (attention,  `x\mapsto\sqrt(x)`  n'est pas dérivable en  `0` ). 

• `f(x)=\color{red}{x^4}\color{green}{\sqrt(x)}`  est le produit des fonctions définies et dérivables sur  `]0;+\infty[` par `u(x)=\color{red}{x^4}`  et  `v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}`  dont les dérivées sont données par \(u'(x)=\color{red}{4x^3}\)  et  \(v'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) . 
  

En appliquant la propriété de la dérivée d'un produit on obtient :
Pour tout  `x\in]0;+\infty[` ,  \(f'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{4x^3}\color{green}{\sqrt{x}}+\color{red}{x^4}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) `` ,
c'est-à-dire,  \(f'(x)=4x^3\sqrt x+\dfrac{1}{2}x^3\sqrt x\)  (car  `x^4/(2\sqrt(x))=1/2\frac{x^3x}{\sqrt(x)}=1/2x^3x/\sqrt(x)=1/2x^3\sqrt(x)` ).
Enfin  \(f'(x)=\dfrac 9 2 x^3\sqrt x\) . 

• `g(x)=\color{red}{4/x}\color{green}{\sqrt(x))`  est le produit des fonctions définies et dérivables sur  `]0;+\infty[` par `u(x)=\color{red}{4/x}`  et  `v(x)=\color{green}{\sqrt(x)}`  dont les dérivées sont :  \(u'(x)=\color{red}{-\dfrac{4}{x^2}}\)  et  \(v'(x)=\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) . 
  Pour tout  `x\in]0;+\infty[` ,  \(g'(x)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)=\color{red}{-\dfrac4{x^2}}\times\color{green}{\sqrt x}+\color{red}{\dfrac{4}{x}}\times\color{green}{\dfrac{1}{2\sqrt x}}\) , 
  c'est-à-dire,  \(g'(x)=-\dfrac{4\sqrt x}{ x^2}+\dfrac{4}{2x\sqrt x }=\dfrac{-4}{x\sqrt x}+\dfrac{2}{x\sqrt x}=\dfrac{-2}{x\sqrt x}\) .